CAPITOLO IV. 
Funzioni della posizione d/un punto 
1. Derivate. 
1. Un numero U è funzione della posizione d’un punto P, se ad 
ogni posizione di P, o assolutamente arbitraria o convenientemente 
limitata, corrisponde un valore del numero U. Così, ad esempio, i 
numeri che misurano le distanze del punto variabile P da punti o 
rette o piani fìssi sono funzioni numeriche di U, e lo stesso avviene 
di ogni espressione analitica, somma, prodotto, ecc., di alcune di 
tali distanze. 
Le coordinate cartesiane x y z del punto P sono pure funzioni 
numeriche di P, ed ogni funzione analitica U = f (x, y, z) di queste 
coordinate è funzione della posizione di P. Viceversa, se U è 
funzione della posizione di P, date le coordinate xyz di P, risulta 
determinato questo punto, e quindi il numero U. Perciò ogni fun 
zione numerica della posizione d’un punto si può considerare come 
funzione delle sue coordinate. 
2. Diremo che U ha per derivata il segmento u, corrisponden 
temente ad una data posizione di P, e scriveremo u = ^ se, attri 
buendo al punto una nuova posizione P r , la differenza AU dei due 
valori assunti da U si può mettere sotto la forma 
AU = PP'X(u + e),