u = 2ÓP ee = PP'; ed e ha per limite zero se P' tende a P. Dunque 
u = 20P è la derivata di OP 2 . 
Per le funzioni numeriche della posizione d’un punto sussistono le 
stesse regole di derivazione che servono per le funzioni numeriche 
di numeri variabili. Così, per esempio: 
Se Uj, Uj, ... sono funzioni della posizione d’un punto 
P, aventi derivate u^... la loro somma 
u = u t -|- U 2 -(- ... 
ha per derivata 
u = u, + u 2 -f ... 
cioè la somma geometrica (risultante) delle derivate 
delle funzioni che si sommano. 
Invero, data al punto una nuova posizione P', si ha 
au = au 1 + au 2 + ..., 
e, per la definizione delle derivate, 
AU^PP'xOvfO, AU 2 = PP'X(5^K),,; 
onde sommando 
AU = PP' X (n, -f- u 2 -f-... -f- £i -f- e 2 -f-...), 
ovvero, posto 
u = u 1 + u 2 + ..., ed € = €! + €, + ..., 
si ha 
AU = PP' X (n-M), 
dove e ha per limite zero; quindi U ha per derivata u, c. v. d. 
In modo analogo si potrebbero determinare le derivate di pro 
dotti, quozienti, ecc. Ma tutte queste regole, compresa la precedente, 
sono contenute nel teorema che segue: 
4. Teorema. — Se U 4 , U 2 , ... U„ sono funzioni numeriche