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sia la minima fra le distanze dei punti della F dal punto P, 
e se inoltre col tendere di P ad una posizione speciale P 0 , anche 
il punto 0 corrispondente a P ha per limite il punto corrispon 
dente a P 0 , allora la derivata del numero che misura la mi 
nima distanza del punto P dalla figura F è un segmento 
che ha la direzione di questa minima distanza, nel 
senso che va dalla figura al punto, ed eguale all’unità 
di misura. 
Invero, sia r il numero che misura la distanza OP, e Y il suo 
quadrato, Y = r 2 = OP*. Data al punto P la nuova posizione P', e 
detto 0' il punto corrispondente della figura, sarà AV = 0T r2 — OP 2 . 
Ora, poiché OP è la minima distanza del punto P dai punti della 
figura, sarà ÓP 2 <Ò 7 P 2 ; in modo analogo 0 7 P' 2 <0P' 2 . Tenendo 
conto di queste diseguaglianze si ha 
O'P' 2 — OT 2 < AV < OP 72 — ÓP 2 , 
ovvero 
PP' X (O'P' -f O'P) < AV < PP' X (OP' + OP). 
Facciasi tendere P' a P; anche 0' tende ad 0, per la ipotesi 
fatta; e i segmenti OP, OP', O'P e O'P' hanno per limite OP; quindi, 
detti « e 3 due segmenti infinitesimi, sarà 
PP' X (20P + a)<AV< PP' X (20P + p). 
Siano a' e P' le proiezioni ortogonali di a e p su PP'. Sarà 
PP' X « = PP' X a ', e PP' X P = PP' X P f ; 
quindi la diseguaglianza precedente si può scrivere 
PP' X (20P + «') < AV < PP' X (20P + p') ; 
siccome i segmenti a' e p' hanno la stessa direzione, che è quella 
di PP', si potrà determinare un segmento e, avente pure la stessa 
direzione, tale che 
AV = PP' X (20P -f- e),