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È noto, p. e., come si dimostri in geometria elementare che se 
la figura data è un cerchio, il limite superiore delle aree dei poligoni 
interni coincida col limite inferiore delle aree dei poligoni che com 
prendono il cerchio, e che quindi il cerchio abbia un’area paragona 
bile alle aree poligonali. Se si immagina il campo formato dai punti 
del piano la cui distanza da un punto fisso 0 è razionale (rispetto ad 
una lunghezza =1) e minore di 1, si avrà un campo piano la cui 
area interna è nulla, e la cui area esterna vale l’area del cerchio 
di raggio 1. 
4. Alle aree così definite si possono estendere alcune proposizioni 
che si riferiscono alle aree piane. Così è noto che se si proietta orto 
gonalmente un’area piana poligonale sopra un secondo piano, l’area 
proiezione è eguale all’area proiettata moltiplicata pel coseno del 
l’angolo dei due piani. Sia ora A un campo piano qualunque, e sia 
A' la sua proiezione ortogonale su d’un secondo piano che faccia 
col primo l’angolo a. Ogni poligono P contenente nel suo interno il 
campo A si proietta secondo un poligono P' contenente nel suo in 
terno A', e viceversa, ogni poligono P' contenente A' è la proiezione 
d’un poligono P contenente A. Ma l’area del poligono P' è eguale 
all’area di P moltiplicata percola; quindi il limite inferiore delle 
aree dei poligoni P' è eguale al limite inferiore delle aree dei po 
ligoni P moltiplicato per cosa. Ma il limite inferiore delle aree dei 
poligoni P è l’area esterna di A, il limite inferiore delle aree dei 
poligoni P f è l’area esterna di A' ; dunque l’area esterna della proie 
zione d’un campo dato vale l’area esterna di questo campo moltipli 
cata per cosa. In modo analogo si dimostra che l’area interna della 
proiezione del campo vale l’area interna di questo campo molti 
plicata per cosa. Se il campo che si proietta ha un’area parago 
nabile alle poligonali, ossia se coincidono le aree esterna ed interna, 
si deduce che lo stesso avviene per la sua proiezione, e l’area proie 
zione è eguale all’area proiettata moltiplicata pel coseno dell’angolo 
che fanno i piani delle due aree. 
Come applicazione, se si proietta un cerchio di raggio a su d’un 
piano che faccia col primo l’angolo a, si otterrà un’ellisse i cui