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linee poligonali i cui estremi sono gli estremi dell’arco, ed i cui 
vertici sono punti successivi dell’arco. 
Si deduce immediatamente dalla definizione, che la lunghezza d’un 
arco, la quale è il limite superiore delle lunghezze delle linee poligo 
nali i cui estremi sono gli estremi dell’arco e i cui vertici sono punti 
successivi dell’arco, è maggiore delle lunghezze di queste linee po 
ligonali. Come caso particolare, la lunghezza d'un arco (continuo) è 
maggiore della sua corda. 
Teorema. Se mentre un punto P percorre una linea AB 
da A in B, le sue tre proiezioni P' P" P'" fatte su tre 
assi Ox 0y Oz, ogni proiezione essendo fatta parallela- 
mente al piano degli altri due assi, percorrono rispet 
tivamente i segmenti A'B', A"B”, A'"B'" sempre muoven 
dosi nello stesso senso, la lunghezza dell’arco AB è 
minore della somma delle lunghezze delle sue proie 
zioni A'B', A"B", A"'B"'. 
La cosa è evidente se la linea AB è retta, perchè essendo il 
segmento AB equipollente alla risultante dei segmenti A'B', A"B", 
A'"B'", sarà gr AB < gr A'B' -f- 9 T A"B" -f-gr A'"B'". 
Se la linea è una spezzata AGDB, sarà gr AC <grA'C -\-grA"C" 
+ grM"C" ; gr CD < grC'D'+grG'D" + C"'D'"; gr DB < ^rD'B'-f 
gr D"B n -f- gr D"'B'" ; quindi sommando, ed osservando che grkICI 
-\-grCD' -f-^rD'B' ~gr A'B', e formule analoghe, si deduce che la 
lunghezza della spezzata è minore della somma delle lunghezze delle 
sue tre proiezioni. 
Se la linea è qualunque, si immagini una spezzata, i cui estremi 
siano A e B, e i cui vertici siano punti successivi dell’arco. La sua 
lunghezza sarà minore di gr A'B' -j- gr A"B" -j- A'"B'" ; e poiché 
il limite superiore della lunghezza di questa spezzata è la lunghezza 
dell’arco, si deduce che la lunghezza dell’arco è minore della somma 
delle sue proiezioni. 
Teorema. Se un arco curvilineo ha in un suo punto P 
la tangente, e se questa è il limite della retta che con