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a', a! v a' 2 ... vanno decrescendo ; e poiché le differenze a' — a, 
a \ — a v a \ — • • • vanno diminuendo indefinitamente, esse ten 
dono verso un limite x 0 ; analogamente le quantità b, &„ b 2 , ... e 
b', b\, b' 2 ... tendono ad uno stesso limite y 0 , e le c, c v c v ... e 
d, d v c\, ... verso z 0 . Dico che il punto P di coordinate x 0 , y n , z 0 
gode della proprietà enunciata. Invero, fissato ad arbitrio r, si de 
termini n così grande che tutti i punti le cui coordinate sono com 
prese fra a n , a'n ; b n , b' n ; c n , c' n , distino da P meno di r (per il che 
basta prendere n in guisa che le differenze x 0 — a n , a' n — x 0 ; 
y Q — b n , b'n — y 0 , z 0 — c n , c’n — z 0 , che hanno per limiti zero, siano 
minori di ^ r). Allora i punti del campo proposto, le coordinate dei 
quali sono compresi negli stessi intervalli, distano da P meno di r, 
e formano un campo avente la proprietà q. 
Corollarii — I o Se il campo finito A ha infiniti punti, esiste 
un punto P tale che, fissato ad arbitrio r, si può determinare un 
campo, parte di A, i cui punti distano da P meno di r, e che ha 
pure infiniti punti. 
2° Se Ü è una grandezza funzione della posizione d’un punto P, e 
se l è il limite superiore dei valori di U corrispondenti ai punti 
d’un campo finito A, esiste un punto P tale che, fissato ad ar 
bitrio r, si può determinare un campo, parte di A, i cui punti di 
stano da P meno di r, e che il limite superiore dei valori di U 
corrispondenti ai punti di questo campo è ancora l. 
3° Se U è una grandezza funzione continua della posizione del 
punto P, data in un campo finito e chiuso, essa assume in questo 
campo il suo massimo ed il suo minimo valore. 
4° Se tutti i punti del campo finito e chiuso A sono interni al 
campo B, si può determinare una lunghezza r in guisa che ogni 
punto, che disti da qualche punto di A meno di r, apparlenga 
a B. 
IO. Una grandezza dicesi funzione d’un campo, se ad ogni campo, 
o assolutamente arbitrario o obbligato a certe condizioni, corri 
sponde un valore di quella grandezza. 
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