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area OM — ^ a, d area OM = 5- da, e quindi, fatto ancora OP=r: 
4° Se da ogni punto M d’una sfera si conduce il raggio OM, e su 
esso si porta a partire dal centro un segmento OP la cui lun 
ghezza varii con M, essendo però funzione continua di M; allora 
se M descrive un campo sulla sfera, i volumi descritti da OM e da 
OP sono grandezze coesistenti, ed il loro rapporto è, in ogni punto M, 
eguale al cubo del rapporto delle lunghezze delle rette che li de 
scrivono. 
La dimostrazione è analoga alla precedente. 
Preso per unità di misura il raggio della sfera (OM = 1), detto v 
il volume descritto da OP, w l’area sferica descritta da M, e r la 
1 l 
lunghezza di OP, si avrà volOM = » ur, d volOM = ^ d\.u; quindi, so 
stituendo in 
si ricava 
d voZOP 
d volOM 
OP 3 
OM 3 ’ 
. I 
dv = g r 3 dvj. 
17. Sia, nello spazio, OX un asse fisso, P un prisma indefinito, 
avente le generatrici parallele ad OX, ed F una figura solida finita. 
Per ogni punto M di OX conducasi il piano TT normale a questo 
asse ; esso incontrerà il prisma P secondo un poligono p, ed il so 
lido F secondo una figura piana f. Se M percorre un segmento su 
OX, il poligono p descrive un prisma finito, parte di P, e la figura f 
un solido, parte di F. I solidi descritti da p e da f sono funzioni 
distributive del campo percorso da M. Dico che se, per una posi 
zione speciale di M, il piano TT incontra il campo limite di F se 
condo una figura piana la quale si possa racchiudere con linee po 
ligonali che comprendano un’area tanto piccola quanto si vuole 
Peano, Geom. in fin. 12