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sunti da p nel campo A», e p"i maggiore degli stessi valori; inoltre 
sia l’unica grandezza che soddisfi a queste condizioni. Nelle formule 
precedenti si può supporre che pche non deve superare i va 
lori di p nel campo Ai, sia il limite inferiore dei valori di p in 
questo campo ; e si può supporre che p'\ ne sia il limite superiore. 
22. Suppongasi che i valori di p corrispondenti ai punti di A 
siano compresi fra limiti finiti, e si considerino le somme: 
5' = p/a?(AJ4- p 2 r a?(A 2 ) + ... + P«' ¿^(A„) 
e s" — p/' -f p 2 " x(A 2 ) -f ... + P»" 
le quali dipendono dalla legge con cui si è diviso A in parti, e dalla 
scelta dei numeri p'»• e p",:. 
Ogni somma s' è sempre minore d’ogni somma s", sia che esse 
corrispondano alla stessa divisione di A, o a divisioni diverse. La 
cosa è evidente se s' e s" corrispondono alla stessa divisione di A, 
poiché in tal caso p/ è minore di tutti i valori di p nel campo A t -, 
e Pi" ne è maggiore, quindi p/ < pi", e moltiplicando per x(A 
quantità positiva, si ha p/a?(A»-)< Pi" x(ki), e sommando s' <s". 
Se poi s' e s" corrispondessero a divisioni diverse di A, si imma 
gini quella divisione di A che risulta dalla sovrapposizione di 
amendue. Sostituendo in s' e s" ai termini x(ki) la somma dei va 
lori di x corrispondenti alle parti in cui è decomposto A*-, s' e s" 
diventano la somma dei valori di x corrispondenti a questa nuova 
divisione di A, moltiplicati rispettivamente per numeri minori e 
maggiori dei valori assunti di p in questi campi, e quindi sarà 
sempre s' < s". 
Pertanto, le quantità s r avranno un limite superiore, e le s" un 
limite inferiore, e il limite superiore delle s' sarà minore o eguale 
al limite inferiore delle s". 
Se il limite superiore delle s' è eguale al limite inferiore delle s", 
il loro valore comune sarà 1' | A p dx, perchè questa sarà una quan 
tità sempre maggiore dei valori di s', minore dei valori di s", e la 
sola quantità compresa fra i valori di s' e di s".