e percio 
D’altra parte, fissato ad arbitrio e, lo si decomponga in due parti z i 
ed e 2 ; potremo dividere i campi A e B in parti, e prendere in 
modo i valori di p r che 
onde, sommando, si conchiude che è possibile decomporre il campo 
A -(- B in parti Ai e Bin guisa che la somma dei prodotti dei 
valori di x corrispondenti a queste parti, per numeri minori dei 
valori assunti da p nelle medesime differisca da J A p dx -f- p dx 
meno d’una quantità comunque piccola e. Dunque questa somma è 
il limite superiore dei valori di s', ossia 
Nello stesso modo si dimostra che 
e se gli integrali inferiori coincidono coi superiori, ossia se p dx è 
integrabile nei campi A e B, esso sarà pure integrabile nel campo 
A -f- B, e viceversa, e sarà : 
Il teorema precedente si può pure enunciare dicendo che l’inte 
grale, proprio o inferiore o superiore, di p dx, esteso ad un campo, 
è funzione distributiva di questo campo.