189 — 
Teorema IL — Se p è funzione continua del punto P, 
nelle vicinanze d’una sua posizione speciale P 0 , il rap 
porto fra il valore dell’integrale (proprio, o inferiore 
o superiore) di pdx, esteso ad un campo qualunque AA 
nelle vicinanze di P 0 , al valore di x corrispondente 
a questo stesso campo, col tendere di tutti i punti di 
AA a P 0 , tende verso il valore di p corrispondente a P 0 . 
Infatti, sia p 0 il valore di p che corrisponde a P 0 . Fissata una 
quantità piccola ad arbitrio e, si determini una lunghezza r in 
modo che il valore di p corrisponda ad ogni punto P che dista da 
P 0 meno di r, differisca da p 0 meno di e. Sia AA un campo i cui 
punti distano da P 0 meno di r. I valori di p corrispondenti a AA 
saranno compresi fra p 0 — e e p 0 —}- e ; quindi gli integrali, proprio 
inferiore e superiore, di p dx, estesi al campo AA sono compresi 
fra (p 0 — e) ¿r(AA) e (p 0 -f e) x(AA) ; e i loro rapporti ad ¿r(AA) 
sono compresi fra p 0 — e e p 0 + e ; ossia il limite del rapporto di 
uno qualunque di quegli integrali al valore di x vale p 0 . 
Corollario. — Se in ogni punto d’un campo finito e 
chiuso S, p è funzione continua, esiste l’integrale di 
Pdx esteso al campo S, o ad una sua parte qualunque. 
Infatti, poiché gli integrali inferiore o superiore di p dx estesi 
ad un campo A, parte di S, sono funzioni distributive di questo 
campo A, [ed in ogni punto P di S il rapporto del loro valore al 
valore corrispondente di x è p, ossia è lo stesso per amendue gli 
integrali, si conchiude che i valori degli integrali inferiore o supe 
riore di p dx estesi al campo S, o ad una sua parte qualunque 
sono eguali, ossia che esiste l’integrale proprio di p dx esteso agli 
stessi campi. 
Teorema III. — Se x e y sono grandezze coesistenti, 
funzioni distributive dei campi che fanno parte d’un 
campo finito e chiuso S, le quali abbiano in ogni punto 
P di S un rapporto ^ = p, determinato e finito, ;il va-