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lore di y corrispondente ad un campo qualunque A, 
parte di S, vale 
Infatti, diviso il campo A in parti A = A t -j- A 2 se i 
valori di p corrispondenti ai punti di A,- sono maggiori di p'i e 
minori di p"i, sarà pure y(At) > p\ ¿»(A,-) e y(A») < p"* x(ki)\ 
quindi, sommando le varie diseguaglianze che si ottengono facendo 
i— 1,2,... n, si ricava: 
y(A) > p r , £C(A 2 ) -j- p r 2 x(k^) -f-,.. -f- p f „ £<?(A n ) — 
e y(A) < p" t a?(A 4 ) + p" 2 tf(A 3 ) +... + p", <b(AJ = 5", 
ossia y(A) soddisfa alle due prime condizioni dell’integrale, di es 
sere cioè maggiore della prima somma s' e minore della seconda s". 
D’altronde, p è funzione continua del punto P ; perciò pel corol 
lario precedente, non esiste altra quantità compresa fra s r ed s" 
che j A p dx\ quindi 
24. Gli integrali geometrici precedentemente definiti presentano 
massima analogia cogli integrali definiti j f(x) dx che compa 
iono nel calcolo integrale; anzi ridurremo il calcolo dei primi al 
calcolo di questi. Sarà perciò utile di ben fissare il significato di 
quest’integrale definito, nel modo che sarà per noi più conveniente, 
e di ricordare a questo proposito alcune proposizioni. 
Dicesi intervallo (a, 5) il sistema di tutti i numeri compresi fra 
a e &, esclusi o non questi estremi. 
Supponiamo, per maggior semplicità, a < 6, benché le proposi 
zioni che seguono siano pure applicabili, con leggiere modificazioni, 
senza questa ipotesi.