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valori di f(x) in quegli intervalli parziali, poiché per ipotesi f{oc) è 
integrabile nell’intervallo {a, b), l’j b f{x) dx sarà una grandezza 
maggiore della somma 
5' == (x l — x 0 )y\ -f (x 2 — x i )y' 2 + ...-\-(x n — x n -i) y' n 
e minore della somma 
s" = (a? 1 — x 0 ) y'\ -f (¿t? a — xj y'\ +... + {cc n — x n _ i ) y" n , 
e sarà l’unica grandezza sempre maggiore dei valori della prima 
somma, e minore di quelli della seconda, comunque varii la divi 
sione dell’intervello {a, b), e la scelta dei valori di y\ e y"i. 
Ora i rettangoli aventi rispettivamente per base i segmenti de 
scritti da M, mentre x varia in ciascheduno di quegli intervalli 
parziali, e per altezza y\ y\ ... y' n sono interni alla figura data, e 
la loro area totale è misurata da s'. Analogamente la figura for 
mata dai rettangoli aventi le stesse basi e per altezze y" l y'\ ... y" n , 
contiene nel suo interno l’area data, e la sua area è misurata da s 
Pertanto il numero che misura l’area (interna, o esterna, o propria) 
della figura descritta da MP è maggiore di s' e minore di s". Ma 
il sol numero f b f(x)dx gode di questa proprietà; dunque 
*7 et 
1’ ¡i' b f(x) dx misura l’area descritta dall’ordinata MP. 
Se la funzione f(x) non è integrabile nell’ intervallo (a, b), ma