ammette solo gli integrali inferiore e superiore, questi misurano 
le aree interna ed esterna della figura descritta da MP. 
Teorema IL — L’area descritta dall’ordinata MP d’una 
curva di equazione y = f(x) in assi cartesiani obliqui 
che fanno fra loro l’angolo uu, mentre x varia nel 
l’intervallo (a, 6), supposta la f(oc) positiva e integra 
bile in quell’intervallo, e a < &, è misurata da 
La dimostrazione si ottiene dalla precedente sostituendo alla 
considerazione dei rettangoli aventi le basi sull’asse delle x e per 
altezze le y, i parallelogrammi aventi le stesse basi, e gli altri 
lati paralleli all’asse delle y e misurati dai valori delle ordinate. 
Teorema III. — Se nel piano della figura P si segna un 
asse OX, e da ogni punto M di quest’asse si conduce la 
perpendicolare ad OX, che incontra la P secondo una 
figura rettilinea, se il campo formato dai punti d’in 
contro di questa retta col campo limite di F ha una 
lunghezza esterna nulla, detta x l’ascissa del punto M, e 
fi la lunghezza della intersezione della perpendicolare 
in M col campo F, l’area di quella parte della figura F 
formata dai punti le cui ascisse sono comprese fra a<òb 
è misurata da ( b h dx. 
a 
Infatti, sia Au il numero che misura l’area formata dai punti 
di F le cui ascisse sono comprese in un intervallo di ampiezza Ax. 
Si consideri l’area del rettangolo avente per base il segmento 
Ax e per altezza 1, la quale è misurata da Ax. In virtù delle 
ipotesi fatte (N. 18, 1°) col tendere degli estremi dell’ intervallo Ax 
ad uno stesso valore x, lim ~ ^ = fi ; quindi il valore di u 
corrispondente all’intervallo {a, b) vale j^ h dx.