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Osservando che -— è la lunghezza della sottotangente, si deduce 
Ioga 
che l’area compresa fra un arco di curva logaritmica, le ordinate 
estreme e l’asse delle x, è eguale all’area d’un rettangolo di base 
la sottotangente e di altezza la differenza delle ordinate estreme. 
Supposto a > 1, se si fa tendere x 0 verso — oo, lim <2*0 = 0, e 
l’area precedente ha per limite Contemporaneamente la figura 
di cui si determina l’area acquista dei punti che si allontanano 
indefinitamente dall’origine ; il limite trovato misura l’area interna 
compresa fra l’asse delle x, il ramo infinito della logaritmica, e l’or 
dinata che corrisponde all’ascissa x r 
28. Curve riferite a coordinate polari. 
Teorema. — Se r = f(a) è l’equazione d’una curva rife 
rita a coordinate polari, ere funzione continua di a, 
l’area descritta dal raggio vettore, mentre a varia nel 
l’intervallo (a 0 , af) è misurata da 
Infatti, sia OP il raggio vettore di lunghezza r, e che fa coll’asse 
polare l’angolo a. Sia OM il raggio vettore avente la stessa dire 
zione di OP, e di lunghezza = 1. Mentre a descrive un intervallo 
1 
di ampiezza Aa, OM descrive un settore circolare di area y Act, 
e OP un settore Au della curva data. Ora, supponendo che gli 
estremi dell’intervallo descritto da a tendono ad uno stesso valore 
a, si è visto che 
Au 
1 ’ 
lim