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Inoltre questa funzione X„+i ha tutte le sue radici reali com 
prese fra —1 e -f-l. Dettele x 0 , x v ... x n , sarà 
Xn+1 = {x — a? 0 ) (x— xj... (x — Xn). 
Sia ora f(x) una funzione qualunque di x, avente le successive 
derivate fino all’ordine che ci occorrerà. Si determini il polinomio 
intero qpOr) di grado n, che per x = x 0 , x v ...x n , radici dell’equazione 
X, i+ i = 0, assume gli stessi valori y 0 y v .. y% che assume f(x). Sia 
vp (x) quella funzione intera di grado 2n + l definita dalle condizioni 
ip (x 0 ) = f(x 0 ), vp (xj = f{pc x ),... ip (x n ) = f(x n ) ; 
v' (x 0 ) = f (a? 0 ). V' (®i) = f •» vp' (pdn) = V {Xn). 
Siccome la differenza vp (x) — cp(x) si annulla per x — x 0 , x v ...x n , 
essa sarà divisibile per (x — x 0 ) (x — x x )...(x— a? M )=X»_i; detto 
X (x) il quoziente della divisione che sarà un polinomio di grado n, 
si avrà 
vp (x) = qp (x) + Xmh-i X (x). 
Inoltre, poiché i valori di f(x) e vp (x), e delle loro derivate sono 
eguali per x = x 0 , x v ...x n , si può porre: 
tipo) — vp (x) + (x—x o y (x—x x f... (X — XnY > 
ovvero sostituendo 
№=q> («0+x„+i x (*)+xv. ^|r, 
ove u è un valore di x compreso fra i considerati. 
Integrando fra — 1 e +1 si ottiene 
r + 1 r + 1 
f{pc) dx—\ cp (x) dx -f- 
J — l J — 1 
r + 1 i r + 1 
j Xn+i X (x) dx + g n+2l j j X 2 M +i f ( 2w+2 > (u) dx.