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XW dx, che è un numero che dipende puramente da n, 
si decomponga il differenziale ad integrarsi in X w+ i. X M +i dx, e lo 
si integri per parti n +1 volte; ovvero, ciò che fa lo stesso, si ap 
plichi la formula (1), in cui si faccia U = Xn+i ; dopo alcune ridu 
zioni si avrà : 
,. + l 
j X 2 n+ i dx = 
— 1 
1.2 ....(» + 1) 
(»+2) (n+3)... (2n+2) 
r + 1 
j (1 — dx. 
Ora 
„+1 
( (1 — x*) n+1 dx — 2 ) (1 — u? 2 ) n+1 dx, 
' -1 ‘0 
colla sostituzione x = cos t diventa 
r + i r 
( (1 —x*) n+1 dx = 2 
* -1 J 
TI 
2 sen2n 
0 
4 6 2n + 2 < 
F ■ T •" 2n + 3 ’ 
e quindi 
_ 0 1.2 .... (n + 1) 2.4.6 .... 2n + 2 /■(*»+*) (m) 
R — * (n + 2) (n + 3)... (2n + 2) 3.5.7 .... 2» + 3 (2n + 2)! ' 
La funzione Xw+i, le sue radici x 0 x i ... x n , i coefficienti A 0 A i ... A„ 
del valore approssimato dell’integrale 
A-o Vo A-i Vi 4“ ••• a» 
,b 
e l’errore che si commette nell’integrale j f{x)dx applicando il 
a 
metodo di Gauss, per i più semplici valori di n sono i seguenti: