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Come altro esempio, si consideri il volume comune a due cilindri 
circolari retti, aventi lo stesso raggio r, ed i cui assi si incontrano 
sotto l’angolo 0. Il piano passante per gli assi dei due cilindri in 
contra il solido secondo un parallelogrammo di area 4r* sen0 ; ogni 
piano parallelo ad esso, alla distanza x, incontra lo stesso solido 
secondo un parallelogrammo, simile al primo, e la cui area ui vale 
4(r 2 — x 2 ) sen0. Perciò, siccome uj è funzione di secondo grado di 
x, applicando la formola precedente, si ha che il volume del solido 
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comune ai due cilindri vale i y del volume del parallelepipedo 
avente per base il parallelogrammo 4r 2 sen0, e per altezza 2r, dia 
metro comune ai due cilindri. 
§ 8. Archi curvilinei. 
40. Teorema. — Se la posizione del punto P è funzione 
della variabile numerica t, avente per derivata il seg 
mento u, funzione continua di t, detto u il numero che 
misura la lunghezza di u, l’arco descritto da P, mentre 
t varia nell’intervallo (i 0 , è misurato da 
Infatti sia As la lunghezza dell’arco descritto da P, mentre t 
varia in un intervallo parte di (t 0 , £,), e la cui ampiezza sia At. 
Sia c la corda di quest ’arco As. Si avrà . Fa- 
u Ai c Ai 
A<? 
cendo tendere At a zero, il fratto y—, che è il rapporto fra la 
lunghezza dell’arco alla sua corda, ha per limite l’unità, per quanto 
si è visto. Il rapporto ~ ha per limite u; quindi 
-tt — u, ds = udt, e s 
| udt. 
' t 0 
Peano, Geom. infin. 
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