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45. Un’altra formula approssimata per l’arco d’ellisse si può ot 
tenere per quest’altra via. Si ha 
/a 2 cos 2 1 -f- & 2 sen 2 £ = &-]-(« — V) cos t 
cos t (1 — cos t) 
21) [a — 6) 
6 + (a—6) cosi + ]/a 2 eos 1 £ -}- & 2 sen 2 i ’ 
quindi 
E 
— 4 | 2 /a 2 eos 2 í-(- & 2 sen 2 í dtf = 2n & -j- 4 (a —&) 
cos i (1 — cos t) 
8 6 (a —6) P ~ 
J A & + (a — 6) eos i + j/a 2 cos 2 i + & 2 
sen 2 i 
Ora, poiché l’ultimo integrale è positivo, si deduce 
E < 2 ti & -}-4 (a — &), 
che si può pure scrivere 
E _ 2a + (TT — 2)6 
2 -ir ' 2 + (ir — 2) 
E poiché 5— è il raggio del cerchio la cui circonferenza è eguale 
¿TT 
a quella dell’ellisse, ricordando quanto si è detto precedentemente, 
si deduce che il raggio del cerchio la cui circonferenza 
è eguale a quella dell’ellisse di semiassi a e 6 è mag- 
. a-{-b . . . . 4 2a-j-(n — 2)6 
giore di —¿r—, ed e minore di 6 4--— [a—&) = 0 ‘. 
¿ v ¿TI ¿ (ir — ¿) 
Se in questa seconda formula invece di tt si sostituisce 3 < ir, si 
aumenta il valore della frazione, quindi: 
Il raggio del cerchio la cui circonferenza è eguale 
a quella dell’ellisse di semiassi a e &è maggiore di 
a + & , . . -. 2 a -\-b 
—5—, ed e« minore di — 5 —.