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tesiane, ovvero le coordinate polari del punto P. In generale i due 
numeri u e v soglionsi chiamare le coordinate del punto P nel 
piano o su quella superficie. Supponiamo sempre che ad ogni 
coppia di valori u e v, se occorre convenientemente limitate, cor 
risponda una posizione di P, e che a coppie distinte corrispondano 
posizioni distinte di P. Attribuendo ad u un valore qualunque, e 
variando v fra due valori 0 O (u) e 0 t (u), che possono dipendere da 
u, il punto P descrive un arco di curva in quel piano o in quella 
superficie. Variando poi u fra due valori a e &, questa curva si 
sposta e descrive un’area. Quest’area si può esprimere con due in 
tegrazioni successive, come dimostra la proposizione che segue: 
Teorema. — Se la posizione del punto P è funzione 
delle due variabili numeriche u e v, avente per de 
rivate rispetto a u e a v i segmenti p e q, funzioni con 
tinue di u e v, il luogo dei punti P che corrispondono 
alle coppie dei valori di u e v che soddisfano alle 
diseguaglianze 
a < u <b, 0 O (u) < v < 0 t (u) 
essendo 0 O (u) e 0¿ (u) funzioni continue di u, ha un’area 
misurata da 
0i(«) 
S= J du | a) dv, 
' a 0 O (u) 
ove ai è il numero che misura l’area del parallelo- 
grammo p . q, cioè U) —gr (p .q) =gr p X sen p, q. 
Suppongasi dapprima che il punto P giaccia in un piano fìsso. 
Sia MN una qualunque delle linee descritte da P mentre, attri 
buendo ad u un valore fisso, v varia da 0 O (u) 
a 0 1 (u). Sia M'N' una nuova posizione di questa 
linea, corrispondente ad un nuovo valore u -j- Au 
di u. Dicasi AS la porzione dell’area S com 
presa fra le linee MN ed M'N', cioè l’area descritta da MN mentre