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u varia nell’intervallo (u, u -j- Au). Siano PeP' due punti delle* 
linee MN ed M 7 N' corrispondenti ad uno stesso valore di v. Va 
riando v fra 0 O e 0 t , la retta PP f descrive un’area MNNjMj, la 
quale differisce dalla AS solo per due triangoli mistilinei 
e NN t N' che possono appartenere all’una e non all’altra delle due 
figure : 
AS = MNN.M, + MMjM' + NNj N' 
Ora la prima parte in virtù delle formule dimostrate è espressa 
1 fpp, (dP , 
2 J r *1 i 
e dividendo per Am, 
MNN,M 4 
4P . eZP'\ 
dv + <fo *’• 
gli integrali essendo estesi da 0 O a 0 r Ora, col tendere di Au a 
PP'^P ^p ^p 
zero, lim —— = — = p ; il segmento — = q ; ed il segmento —- 
che è ciò che diventa q, ove ad u si sostituisce u -j- Au, ha per 
limite q col tendere di Au a zero. Quindi, supposto fisso v, si avrà 
( ^ -(- j = p . q — uu ; inoltre, a causa della conti 
nuità di p e q, il membro di sinistra converge equabilmente verso 
uu qualunque sia v, ossia, fissata una quantità piccola ad arbitrio, 
si può supporre Au così piccolo che la differenza fra il membro 
di sinistra ed il suo limite uu sia minore di questa quantità, per 
ogni valore di v. Allora il limite dell’integrale sarà l’integrale del 
limite, ossia 
lim 
MNN t M t 
A u 
uu dv. 
La figura MMjM' è minore del rettangolo di base MM, e di al-