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u/ sarà la proiezione dell’area p . q di grandezza uu, l’area S' della 
proiezione della figura data sarà misurata da S' — j du j uu' dv ; 
e poiché uu' è minore di uu, si deduce S '< j du [ uu dv; ossia, se si 
decompone la superficie descritta da P in parti, e, dopo averle tra 
sportate nello spazio, le si proiettano su d’un piano fìsso, la somma 
S' delle proiezioni di queste parti è sempre minore dell’integrale 
duplicato j du j uu dv. Si decomponga ora in parti la figura data, 
in modo che l’angolo che il piano tangente alla superfìcie (cioè il 
piano dell’area p . q) fa in due punti di una di queste parti sia 
minore d’un angolo piccolo ad arbitrio e, cosa possibile a causa 
della continuità di p e q. Si trasportino queste parti in guisa che 
il piano tangente in uno dei loro punti sia parallelo al piano TT su 
cui si proietta. Si avrà uu' = uu cos (uu, uu') indicando con uu, uu' l’an 
golo che il piano dell’area uu', cioè il piano TT, fa col piano dell’area 
uu, cioè p . q, dopo il trasporto. Allora, siccome per ipotesi uu, uu' < e, 
sarà uu' > uu cos e; quindi 
S' = j du j uu' dv > cose | du j uu dv, 
quantità che si può supporre tanto prossima quanto si vuole a 
( du j uu dv, 
perchè si può supporre cos e differente dall’unità meno d’una quan 
tità comunque piccola. 
Dunque, se si decompone la figura descritta da P in parti, e queste, 
dopo averle trasportate comunque nello spazio, vengono proiettate 
ortogonalmente su d’uno stesso piano TT, la somma S' di queste 
proiezioni è sempre minore di j du ( uu dv, e vi si può avvicinare 
quanto si vuole; ossia quest'integrale è il limite superiore di S'.