L’integrazione rispetto a v si può eseguire immediatamente. 
Supponendo di voler considerare l’area descritta dal segmento 
OM, v dovrà variare da 0 ad 1 ; quindi 
J e r (® iv ■ 0M ) dv = § r • 0M ) J 0 vdv = 
perciò, sostituendo 
.OM ; 
„ 1 f / dM . 
S =2 hv° M ) dU - 
Come esempio, se si suppone che OM sia di lunghezza costante 
r, e quindi che M si muova su d’una sfera di centro 0 e di raggio 
r, la direzione di , che è tangente alla sfera, sarà normale al 
raggio OM; quindi 
( dM 1 
S r Ur- 0M 
dM 
r s r d^ ; 
sostituendo, si avrà 
dM 
gr —r— du. 
Ma il secondo integrale rappresenta la lunghezza dell’arco di 
curva sferica descritta da M; quindi l’area della superficie conica