54. Superficie di rivoluzione. — Sia l una linea data comunque 
nello spazio. La posizione d’un punto di questa linea sia data in 
funziono d’una variabile u. Se questa linea ruota attorno ad un 
asse fisso OX, genererà una superficie di rivoluzione. Dicasi a l’an 
golo di cui è ruotata la linea per passare da una sua posizione 
iniziale ad una posiziene qualunque. Allora la posizione d’un punto 
P su questa superficie è data dai due numeri u e a; il secondo 
determina la posizione della generatrice che passa per P, e il primo 
la posizione del punto su questa generatrice. Se a è fisso e varia 
u, il punto descrive una generatrice; se u è fìsso e varia a, il 
punto descrive un parallelo, cioè un cerchio contenuto in un piano 
normale all'asse di rotazione, ed il cui centro sta su quest’asse. Sia 
dP 
la derivata del punto P rispetto ad u, che sarà un segmento 
tangente alla generatrice passante per P. La derivata di p rispetto 
ad a sarà un segmento eguale in grandezza alla distanza di P da 
OX, e tangente al parallelo passante per P. Quindi si potrà cal 
colare l’area uu compresa fra queste due derivate e, integrando, de 
terminare l’area cercata. 
Se la linea che ruota è contenuta in un piano passante per 
l’asse di rivoluzione OX, ossia se è un meridiano della superficie, 
cosa che si può sempre supporre senza ledere alla generalità della 
superfìcie, allora, detta y la distanza del punto P da OX, sarà 
dP 
w=2/gr —,