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La terza GP X v 4~ u 2 — 0, che si può scrivere PC X v = u 2 , dice 
anzitutto che il segmento PC fa un angolo acuto con v, ossia che 
PC è rivolto verso la concavità della curva. Inoltre, detta v M la 
proiezione di v sulla normale, l’equazione precedente diventa 
da cui 
gr PC gr v n = {gr u) 2 
gr PC = R = 
gru 1 
grv n 
ossia il raggio del cerchio osculatore è terza propor 
zionale dopo la derivata prima e la proiezione della 
derivata seconda sulla normale. 
Corollario II. — Il centro del cerchio osculatore ad una curva 
piana in un suo punto P è il limite del punto d’incontro delle nor 
mali alla curva in due suoi punti, i quali tendano a P. Infatti, 
pongasi 
m=cpxu 
sarà 
f'(t) = CPXt + u 2 . 
Se il punto C è il punto d’incontro delle normali alla curva in due 
suoi punti, corrispondenti ai valori t { e t 2 di t, sarà 
m = 0, m = 0; 
quindi per un valore t medio fra t l e 4 sarà f' [t') = 0. 
Passando al limite le equazioni f(t i ) = 0, f(t 2 ) = 0, f'(V) — 0 di 
ventano 
/•(0 = 0, f\t) = 0 
ossia 
CP X u = 0, CP X v + u 2 = 0