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che sono appunto le equazioni che determinano il centro del cerchio 
osculatore. 
2. Dalle cose dette potremo facilmente dedurre il modo di com 
portarsi della curva piana descritta dal punto P rispetto ad ogni 
cerchio passante per un punto P 0 di quella curva. Siano 0 ed R il 
centro ed il raggio di quel cerchio, e facciasi 
F (0 = OP 
F (t) è una funzione di t, perchè P dipende da t, la quale sarà posi 
tiva o nulla o negativa secondochè P è esterno o sopra o interno 
al cerchio considerato. Differenziando si ha 
- 2 - F"(0 = OP X v + u 1 
- F'"(0 = OP X u + 3u X v. 
Fatto t = U, il punto P viene in P 0 , che è un punto del cerchio ; 
quindi sarà F (t 0 ) = 0. Ora, se il centro 0 del cerchio non sta sulla 
normale alla curva, sarà F'(Q § 0. Quindi la funzione F (t), che per 
t = io è nulla, e che ha derivata non nulla, cambia di segno quando 
t passa da valori minori a valori maggiori di to', perciò il punto P 
passa dall’interno all’esterno del cerchio, o viceversa, ossia la curva 
taglia il cerchio. 
Se invece il centro 0 sta sulla normale alla curva, sarà per 
t = t 0 , F (t) — 0, F'(£) = 0. 
Se G è il centro del cerchio osculatore, sarà GP X v +-u* = 0; 
quindi, sottraendo da F”(Q, si ricava