264 
In concavità della curva, sara F"(0 > 0. Quindi la funzione F(Q, che 
per i — io si annulla insieme alla derivata prima, e la cui derivata 
seconda è positiva, conserva il segno costante positivo nelle vici 
nanze di t = i 0 , ed il punto P, nelle vicinanze di P 0 , è sempre esterno 
al cerchio. Adunque la curva tocca esternamente tutti i cerchi, i 
cui centri 0 stanno sulla normale alla curva, e per i quali il 
segmento OC è rivolto verso la concavità della curva. 
Se invece il segmento OC è rivolto verso la convessità della curva, 
sarà per t=t 0 , F (i)=0, F'(i)=0, F" (i)<0; quindi F(i) è negativa, 
nelle vicinanze di i 0 , e la curva è, nelle vicinanze di P 0 , interna 
al cerchio. 
Se infine il punto 0 coincide con G, ossia se il cerchio conside 
rato è il cerchio osculatore, sarà F(£) = 0, F f (Q = 0, F"(Q = 0, e 
occorrerà considerare la derivata terza 
F'" (t) = GP X u 4- 3u X v. 
Se questa non è nulla, F(Q cambia di segno nelle vicinanze di 
t = t 0 , e la curva taglia il cerchio osculatore. 
3. Possiamo arrivare alla considerazione dello stesso cerchio par 
tendo da concetti alquanto differenti. 
Dicesi curvatura assoluta d un arco di curva piana AB l’angolo 
che fanno fra loro le tangenti (o le normali) all’arco nei suoi estremi 
A e B. Per ben definire quest’angolo converrà immaginare un punto 
qualunque P dell’arco AB, e la tangente in questo punto alla curva ; 
conducasi da un punto fisso 0 la parallela a questa tangente; mentre 
il punto P varia e descrive tutto l’arco AB, questa parallela ruo 
terà attorno ad O, e descriverà un angolo che sarà la curvatura 
dell’arco AB. La curvatura d’un arco può superare ft, ed anche 2tt. 
Se si scompone un arco in parti, la curvatura assoluta dell’arco 
è la somma delle curvature delle sue parti; quindi la curvatura 
d’un arco è funzione distributiva dell’arco stesso. 
Il rapporto della curvatura assoluta d’un arco AB alla sua lun 
ghezza dicesi curvatura media di quell’arco.