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Il limite della curvatura media d’ un arco P, P 2 di curva, ove 
i punti P 3 e P 2 tendano ad uno stesso punto P dicesi curvatura 
della curva in quel punto. 
La curvatura d’una curva in un suo punto vale il reciproco del 
raggio del cerchio osculatore in quel punto. Invero, detti P, e P 2 
due «punti della curva, G il punto d’incontro delle normali in 
questi punti, As la lunghezza dell’arco PP', e Ax la curvatura di 
quest’arco, che è eguale all’angolo P,CP 2 che fanno le due normali 
negli estremi dell’arco, si ricava dal triangolo P^P.^ che 
sen CP 2 P ( 
sen At 
GP ; 
As 
Ora la curvatura media dell’arco P^ si può mettere sotto la 
forma 
P*P 2 — P,P 2 ^ sen At ^ As ' 
Si passi al limite, facendo tendere P ì e P 3 verso lo stesso punto P. 
L’angolo GP a P t ha per limite il punto G ha per limite il centro 
del cerchio osculatore, ed il segmento GP t il raggio R dello stesso 
cerchio P. Quindi limNella seconda formula si ha poi 
e perciò 
At 
e siccome il limite di — è appunto la curvatura della curva in P, 
si deduce la proposizione a dimostrarsi.