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dC 
La seconda di queste equazioni dice che è normale ad u, 
'ossia, siccome le direzioni di u e di sono le direzioni delle tan- 
dt 
genti alla curva data e all’evoluta, si deduce che la tangente al 
l’evoluta nel suo punto G è la normale alla curva data nel punto 
corrispondente P. 
La prima equazione si può scrivere PG X 
d G 
dt 
R 
dR 
dt 
ora ì 
dC 
segmenti PG e hanno la stessa direzione, ma possono avere lo 
dC 
dC 
stesso verso, o verso opposto ; quindi PG X — + 9 r PC. gr 
dovendosi prendere il segno + nel primo caso, ed il — nel secondo. 
Si sostituisca nella formula precedente, osservando che ^rPG = R, 
e si divida per R. Si avrà 
gr 
dC 
dt 
Si moltiplichi per dt e si integri entro due valori t 0 e t r Supposto 
che per tutti i valori considerati di t si debba sempre prendere o 
il segno superiore o il segno inferiore, il che avverrà se il raggio 
di curvatura R va sempre crescendo, ovvero sempre decrescendo, si 
dedurrà 
gr 
to 
dC 
~cù 
dt — + (' ' dt. 
— J dt 
Ma il primo integrale rappresenta la lunghezza dell’arco descritto 
dal punto G, e che indicheremo con cr. Detti R 0 e R, i valori di R 
rfR 
dt 
dt — R, — R 0 
, X 
corrispondenti ai valori 1 0 e t l di t, si avra 
t° 
quindi 
<y = ± (R t — Ro) 
ossia : 
* Se, mentre il punto P si muove su d’un arco P 0 P, di curva