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Si consideri, come esempio, la spirale logaritmica di equazione 
r — eaa. Si avrà r' = ae»a, r" = a? e«a ; sostituendo si ricava 
R — r ]/i-\-a 2 . 
D’altra parte la lunghezza N della normale polare, che in generale 
valeur* -f- r' 2 , nel nostro caso diventa N = r j/l-f-a 2 ;quindi R=N, 
ossia, nella spirale logaritmica, il raggio di curvatura è eguale alla 
lunghezza della normale polare. Il centro di curvatura sarà perciò 
l’estremità della sottonormale polare. 
9. Sono collegati colla curvatura d’una curva piana alcuni limiti 
che ora determineremo. 
1° Siano PeP' due punti d’una curva, e sia M la proiezione 
di P' sulla tangente alla curva in P. Si descriva il cerchio tan 
gente alla curva in P e passante per P\ Detto Q il secondo punto 
d’intersezione di MP' con esso, sarà 
MP 2 
MP 2 == MP' X MQ, ossia = MQ. 
Si faccia ora tendere P' verso P. Il cerchio ha per limite il cer 
chio osculatore alla curva in P; il segmento MQ ha per limite il 
diametro 2R di questo cerchio ; quindi si ricava 
lim = 2R. 
MP 
2° L’espressione del raggio di curvatura si può pure ottenere 
in quest’altro modo. Dati alla variabile t i valori t L t % t s , siano 
P t P 2 P 3 le posizioni corrispondenti del punto variabile ; dette a, 6, c 
le lunghezze dei lati P, P 3 , P 3 P 4 , P A P 2 , e A l’area del triangolo 
P, P, P 8 , il raggio R del cerchio passante pei tre punti P t P 2 P 3 è 
dato da 
„ abc 
R — = A a". 
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