Ili 
r = 4R sen P x sen g- P 2 sen 9 P 3 ; 
ili 
r' = 4R sen g- P, cos g- Pj cos g- P 3 , ecc.; 
ÀI limite il raggio del cerchio inscritto e due dei raggi dei cerchi 
exinscritti hanno per limite zero, mentre uno di questi ha per li 
mite il quadruplo del raggio di curvatura. 
IO. Se d’un arco di curva piana AB si sa che in ogni suo punto 
il raggio di curvatura R soddisfa alle condizioni 
R 2 < R < R, 
allora, data una delle tre quantità: la lunghezza s dell’arco di curva, 
la lunghezza c della sua corda, e l’area u limitata fra 1’ arco e la 
corda, si possono determinare dei limiti che comprendano le altre due. 
Supporremo, per semplicità, l’arco AB convesso, cioè tale che 
ogni retta rincontri al più in due punti; e che esso sia tutto in 
terno al cerchio di diametro AB. Si immagini un punto P che per 
corra l’arco AB, ed il cerchio passante pei tre punti A, B, P, il cui 
raggio r varierà con P. In virtù delle ipotesi fatte, il segmento limi 
tato dall’arco circolare APB e dalla sua corda AB è sempre compreso 
nel semicerchio di diametro AB; e l’area di questo segmento e la 
lunghezza dell’arco circolare APB sono tanto più grandi quanto più 
piccolo è il raggio r del cerchio, e viceversa. Variando P su AB, 
il raggio r assumerà il suo minimo valore r l per una posizione P 1 
di P, e assumerà il suo massimo valore r 2 per una posizione P 4 di P. 
Allora il segmento limitato dell’arco di cerchio AP i B e dalla sua 
corda, il quale è il massimo fra tutti i segmenti APB, conterrà nel 
suo interno l’arco curvilineo dato. Quindi la lunghezza s dell’arco