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conduca la retta c parallela ad l; questa sarà la polare di & in G,
e il piano Gc è il piano tangente cercato.
Se le tre parallele l, a, & giacciono in uno stesso piano, giacerà
pure in esso la polare c in ogni punto G; perciò i piani tangenti
in tutti i punti della generatrice coincidono. Se invece essi non
giacciono in uno stesso piano, allora varia il piano tangente in esso;
e siccome il piano tangente si ottiene dal punto G mediante proie
zioni e sezioni, si conchiude che mentre il punto di contatto descrive
sulla generatrice una punteggiata, il piano tangente corrispondente
descrive un fascio di piani proiettivo a quella punteggiata.
20. Piani variabili. Le cose dette per le rette variabili si pos
sono applicare con leggere modificazioni ai piani variabili. Noi ci
limiteremo a pochi cenni.
Sia ir un piano, la cui posizione dipenda da una variabile nu
merica t. Sia A un punto di tt. Si attribuisca alla variabile t un
nuovo valore e sia ir' il piano corrispondente; si immagini
il piano omotetico di tt' con centro d’omotetia in A e con rapporto
1
d’omotetia Gol tendere di h a zero questo piano tende in gene
rale ad una posizione limite a, parallela a tt; al piano a daremo
il nome di piano polare di tt nel suo punto A.
Si dimostrano con ragionamenti analoghi ai precedenti le propo
sizioni che seguono.
Se AU è la derivata del punto A e a il piano polare di tt in A,
il piano a contiene il punto U. Questa proprietà permette di costrurre
il piano polare a ove si conosca la derivata del punto A; ovvero
di costrurre la derivata del punto A conoscendo il piano polare a,
e la direzione della derivata di A. Esso permette pure di costrurre
la derivata del punto A d’incontro d’un piano rr e d’una retta l, ove
in quel punto si conoscano il piano polare a e la retta polare a del
piano e retta date; l’estremo della derivata di A è il punto a a. In
fine, se tt, p, a sono tre piani variabili e se a, 3, y sono i loro piani
polari nel loro punto comune A, l’estremo della derivata di A è il
punto a p y.
