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19. Siano nello spazio n punti A t A 2 ...A M , cui siano affìssi n seg 
menti a t a 2 ...a«. Preso un punto 0 si consideri la somma geometrica 
delle aree: 
uu(O) = OA i .a 1 —(— OA 2 .a 2 -j- ... -{- OAw.a» . 
Si vuol studiare il modo di variare di quest’area, ove varii il 
punto 0. 
Sia S un’altro punto dello spazio. Siccome OA==OS + SA, si 
deduce 
OA 1 .a i -f- OA 2 .a 2 -{- ... = OS.(a, -j- a, -j- ...) -f- SA^a* -j- SA 2 .a s ... 
ovvero 
uj(0) = OS.^ —H a 2 —•••) uj (S) 
od ancora, ponendo s = a, + a 2 + ..., 
u»(0) = OS.s + uu(S). 
Supposto s non nullo, si deduce uj(0) = w (S) se OS.s = 0 ; ossia 
se OS è parallelo ad s. Quindi l’area w(0) non varia se il punto 0 
si muove su d’una parallela al segmento s. 
Se s è parallelo al piano uu(0), si può determinare un segmento 
OS tale che w(0) ss OS.s ; e pel quale uu(S) = 0. Questi punti S sono 
infiniti, e giacciono su d’una retta parallela ad s. In tal caso 
l’area uu, somma di n parallelogrammi compresi fra un lato varia 
bile con 0, ed un lato fisso, resta espresso mediante un parallelo- 
grammo della stessa natura. Ma se s non è parallelo al piano u>(0), 
non sarà mai uu(0) = OS.s, e quindi per nessun punto S dello spazio 
si può avere uj(S) = 0. 
Se poi s = 0, l’area w(0) risulta indipendente dal punto O. 
Limitandoci alle figure nel piano siano A,B t == a„ A 2 B 2 = a 2 , ....; 
allora OA.a è il doppio dell’area del triangolo OAB. Quindi, se la 
risultante s dei segmenti AjB^ A 2 B 2 ,... è nulla, la somma dei trian 
goli OA^p OA 2 B 2 ,... è costante per ogni punto 0 del piano. Se invece 
la risultante di questi segmenti non è nulla, la somma OA^ -f- 
OA a B 2 -f-— è nulla per tutti i punti d’una certa retta. Segnata