27 
Se Q non è nullo, si può determinare un punto S tale che Q.OS 
= V(0), e quindi Y(S) = 0 ; e questi punti S sono in numero infinito, 
e giacciono su d’un piano parallelo ad Q. Sia S un punto siffatto; 
l’ultima formula dice V(0) = Q.0S, ossia il volume V(O) risulta 
espresso mediante il solo segmento OS variabile con 0. 
Se poi Q = 0, V(0) ha un valore indipendente dal punto 0. 
I risultati precedenti si possono pure interpretare a questo modo. 
Il volume ui.OA, ove A è un punto di ui, vale tre volte il volume 
della piramide di base ai e il cui vertice è 0. Quindi: Se si hanno 
più aree uq, w 2 ... determinate anche in posizione, e si fa la somma 
U(0) dei volumi delle piramidi aventi per basi queste aree, e per 
vertice un punto variabile 0, se la somma delle aree Q = + 
w 2 -j- ... non è nulla, la somma delle piramidi è eguale alla piramide 
avente per base un’area Q == u» 1 -j- uj 2 -}-... determinata di posizione, 
e per vertice il punto 0. Quindi quella somma è costante se il punto 
0 si sposta in un piano parallelo ad Q, ed è nulla per tutti i punti 
del piano Q. Se Q = 0, la somma di queste piramidi è indipendente 
da 0. Come caso speciale, se le aree w sono le faccie di un poliedro 
non chiuso, il cui contorno sia una linea poligonale qualunque, U(0) 
è il volume del solido il cui vertice è 0, e la cui base è il poliedro 
dato ; e questo volume si mantiene costante se 0 si muove su d’un 
piano parallelo ad Q. Se infine le aree uu sono le faccie d’un poliedro 
chiuso, Q = 0, e il valore costante di U(0) coincide col volume del 
solido, qualora questo sia convesso. In ogni caso, si suol assumere 
U(0) come il volume del poliedro, qualunque sia la sua forma. 
Esercizii. 
25. — 1. Costruire il triangolo ABC conoscendo i tre punti A'B'G' che 
dividono i lati in dati rapporti; p. e. tali che 
BA' = A'C, 2CB'eeeB'A, 3AC' = C'B. 
2. Dimostrare che, essendo A, B, A', B' quattro punti dello spazio, si ha 
2AB x A'B' = AB 7 * + ’aTB 2 — AA'* — BB' J .