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Si consideri il volume (a — a 0 ).j.k. Sarà 
(a — a 0 ).j.k = (x — oc Q ) i.j.k; 
e siccome il membro di sinistra ha per limite zero, lo stesso avverrà 
del membro di destra. Ma il volume i.j.k è finito e non nullo, perchè 
i segmenti di riferimento sono supposti nè nulli, nè paralleli ad un 
piano; quindi deve essere lim(¿r — cc 0 ) = 0, ossia lim x = oc 0 . In 
modo analogo si dimostra lim y = y 0 , e lim z = z 0 . 
Teorema III. — Se la lunghezza del segmento a ha per 
limite la lunghezza di a 0 , e l’angolo a^a ha per limite 
zero, il segmento a ha per limite a 0 . 
Sia OA as a, e OA 0 = a 0 , sarà A 0 A = a — a 0 . Si descriva il cerchio 
di centro 0 e di raggio OA 0 , e contenuto nel piano A 0 OA, e sia B 
il suo punto d’intersezione colla semiretta OA, in modo che l’arco 
A 0 B sottenda l’angolo a 0 a. Poiché l’angolo a 0 a ha per limite zero, 
anche l’arco A 0 B e la sua corda hanno limite zero. Il segmento 
BA è in grandezza eguale alla differenza delle lunghezze di a e a 0 , 
quindi ha pure per limite zero ; ed infine A 0 A = A 0 B -j- BA ha per 
limite zero, ossia lim a = a. 
4. Le proposizioni che seguono si riferiscono ai limiti di punti. 
Teorema I. — Essendo O una origine fissa, se il seg 
mento OP ha per limite OP 0 , il punto P ha per limite OP 0 . 
Viceversa, se P ha per limite P 0 , il segmento OP ha per 
limite OP 0 . 
Infatti, si ha OP — OP 0 = P 0 P. Quindi, se OP ha per limite OP 0 , 
P 0 P ha per limite zero, e P ha per limite P 0 . Viceversa, se P ha 
per limite P 0 , P 0 P ha per limite zero, e OP ha per limite OP 0 . 
Di qui si deduce che le ricerche sui limiti di punti si possono 
ridurre a ricerche sui limiti di segmenti. 
Teorema II. — Se le coordinate del punto P hanno per 
limiti le coordinate del punto P 0 , il punto P ha per limite 
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