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6. Pei limiti di piani si hanno le proposizioni che seguono. 
Teorema I. — Se le distanze di tre punti non in linea 
retta del piano fisso tt 0 dal piano variabile tt hanno per 
limite zero, la distanza d’ogni altro punto di tt 0 da tt ha 
per limite zero, e il piano tt ha per limite tt 0 . 
Infatti, siano ABC i tre punti non in linea retta di rr 0 ; sia D 
un altro punto dello stesso piano. Si possono determinare tre numeri 
m, n, p tali che D risultici baricentro di A B G coi pesi m, n, p; ossia 
(m -f- n -fij) OD = mOk -}- nOB -\-pOG. 
Siano AH, BK, GL, DM le distanze di A B G D da tt. Saranno H K 
L M le proiezioni ortogonali di A B G D su tt, e M il baricentro di 
H K L coi pesi m n p, ossia 
(m -f- n -\-p) OM = mOH -f- nOK. -\-pOB ; 
sottraendo da questa eguaglianza la precedente, si ha 
(m -(- n -fP) DM =jpAH 4- nBK 4~ mCL, 
e se AH, BK, GL hanno per limite zero, anche DM ha per limite 
zero. Quindi la distanza d’ogni punto D di tt 0 da tt ha per limite 
zero, e tt ha per limite tt 0 . 
Teorema II. — Se i punti ABC hanno per limiti i punti 
A 0 B 0 G 0 non in linea retta, il piano ABC ha per limite il 
piano A 0 B 0 C 0 . 
Infatti, le distanze dei punti A 0 B 0 C 0 dal piano ABC sono in valore 
assoluto non maggiori di A 0 A, B 0 B e C 0 C, le quali hanno per limiti 
zero, quindi quelle distanze hanno pure per limite zero, e, pel 
teorema che precede, il piano ABC ha per limite il piano A 0 B 0 G 0 . 
Viceversa, se il piano tt ha per limite tt 0 , preso su questo un punto 
ad arbitrio A 0 , si può sempre determinare un punto A di tt avente 
per limite A 0 ; basta invero prendere per punto A la proiezione di 
A 0 su tt.