Applicando le regole precedenti alla funzione 
a (0 = Po 4“ P4 4" P-2^ 2 4~ ••• 4“ Vni n , 
ove p 0 Pi... pu sono segmenti costanti, si deduce 
a'(0 = Pi -J- 2p 2 i -f- ... + nj>nt n ~ 1 . 
Teorema III. — Se il segmento a ha per coordinate 
x y z funzioni di t, e queste hanno derivata x' y' z', il 
segmento a ha per derivata il segmento a r di coordi 
nate x' y r z'. 
Viceversa, se il segmento a ha per derivata a', le co 
ordinate di a hanno per derivata le coordinate di a'. 
Infatti, se a ha per coordinate x y z rispetto ai segmenti fonda- 
mentali fissi i, j, k, sarà 
a = ¿ri -f yj + zk, 
e per ciò che si è dimostrato (Teoremi I e II) 
a r = x'i y'j -(- z'k. 
Viceversa, dati a t i valori t e t-\-h, e detti Aa, Aa?, Ay, Az 
gli incrementi del segmento a e dei numeri x, y, z, sarà 
Aa = Aa?.i A?/.j -(- As.k. 
e 
Aa 
T 
Ax 
~Ti 
. , Am . , A z 
x-J + T • 
k, 
e se a ha derivata a' = x'i 4- y'j 4" z 'k, siccome lim — = a', dovrà 
essere (N. 3, II) lim ^ = x r , lim ^ = y’, lim ~ = z', ossia x y z 
hanno per derivata x’ y' z'. 
Siccome, le coordinate del segmento a sono funzioni di i spesso 
facili a calcolarsi, e di cui si sa pure calcolare la derivata, il teo 
rema precedente permette di determinare, nei casi più comuni, la 
derivata dei segmenti variabili. 
Si osservi ancora che xi 4- yj è la proiezione del segmento a sul