OA sugli assi sono misurate dai numeri acosa, e asena, i quali 
sono le coordinate di OA. Quindi, pel teorema III, la derivata del 
segmento OA ha per coordinate — asena, e acosa, dal che si deduce 
che essa è appunto il segmento enunciato nel teorema. 
IO. I teoremi che seguono permettono di determinare la derivata 
di numeri, aree e volumi che dipendono da segmenti funzioni della 
variabile i. 
Teorema I. — Se i segmenti a e b hanno per derivata 
a' e V, il prodotto aX b ha per derivata aXb'-j- a 'X b ; 
ossia 
d(a X b) = a X db + b X da . 
Infatti, dati a t i valori te t-\-h,e fatta la differenza dei valori 
corrispondenti di a X b, si ha 
ossia 
e 
A(a X b) = (a + Aa) X (b + Ab) — a X b, 
Afa X b) = a X Ab -j- b X Aa -}- Aa X Ab, 
^axf+bxf+tXT* 
e, passando al limite, si ha la formula a dimostrarsi. 
Come caso particolare, fatto b = a si trova 
da 2 = 2a X da. 
Teorema II. — Se il segmento non nullo a ha per deri 
vata a', il numero che misura la lunghezza di a ha per 
derivata il numero che misura la projezione di a' su a, 
preso positivamente se questa proiezione ha lo stesso 
senso di a, negativamente se ha senso contrario. 
Infatti, detta a la lunghezza del segmento a, si avrà a 2 = a* ; 
quindi derivando a X — a 4- • Sia p il numero che misura la