d? a 
ecc. si ha , , = 
clu dv 
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La derivata del punto P è un segmento funzione di t, il quale 
a sua volta può avere|derivata, e questa un’altra, e così via. I seg 
menti che così si ottengono diconsi le successive derivate del punto 
iplicabili alle aree ed 
iche. Così se w(i) è 
(t), ecc. sarà 
P; le indicheremo alcune volte colle lettere u, v, w,..., altre volte 
con u 15 u 2 ,.... Le derivate successive del punto P coincidono colle 
successive derivate del segmento OP. 
Se il punto P ha per coordinate cartesiane x, y, z, detti i j k 
£ [«•<»>(<) + £]. 
i segmenti di riferimento, si ha 
OP = xi 4- ijj + zk ; 
derivate, sarà 
e se i numeri x y z sono funzioni di t aventi le successive derivate, 
£ [W(<) + e], 
derivando, ed osservando che successive derivate di OP coincidono 
con quelle di P, si ricava per la derivata prima : 
in punto. 
dx . , dy . . dz , 
U = U, = -r-i -4 fi 4 k, 
1 dt ' dt J 1 dt 
e per la seconda 
d*x . . d}y . drz , 
V ~ U2 -^ 1 + ’^ J + d? k ’ 
ed in generale per la derivata n a : 
ma variabile nume- 
P e P' le posizioni 
ito 
d n x . . d n y. d n z, 
u “ s i?r 1 + ^rJ + ^ k > 
e così si hanno le coordinate o componenti delle successive derivate 
del punto, in funzione delle derivate delle sue coordinate. Recipro 
camente, se il punto ha le successive derivate, lo stesso avverrà 
nto PQ, ove ^ tenda 
delle sue coordinate. 
ta del segmento OP, 
die P. Invero si ha 
17. A causa dell’identità delle derivate d’un segmento e delle 
derivate del punto che ne è il termine, supposta fissa l’origine, si 
possono estendere ai punti le formule già dimostrate pei segmenti. 
e facendo tendere 
Così, se P è funzione di t avente le successive derivate, pongasi 
a derivata del seg- 
del punto P; onde 
OP = a[t). Le derivate u 1 u, ... di P coincidono colle derivate del 
segmento a(t); e si ha 
a (t -\-h) = a(t) -f- hn l + j-g u 2 + — + -^7 ( u >» + e) •