Ora, dette P e P' le posizioni del punto corrispondenti ai valori t e 
t-\-h della variabile, si ha a(i)=OP, a(£-f-/z) = OP r , e a[t-\-h) 
— a(£)=PP'; e quindi la formula precedente diventa 
PP f == /¿Ui 4- J2^ ^ ~nf ( Uw “t“ ^ ’ 
ove e è un segmento che ha per limite zero, col tendere di li a 
zero. 
Analogamente, se P è funzione di piu numeri variabili u, v,... 
avente derivate parziali di primo ordine continue, che chiameremo 
u, v,..., date alle variabili gli incrementi Au, Av,..., e detta P' 
la nuova posizione del punto, si avrà 
pp' = (u -f- a)Au -f- (v -j- P)Av -j- ..., 
ove a, (3, .... sono segmenti infinitesimi con Au, Av,... E se u, v,... 
sono funzioni di t aventi derivate ~ ,..., il punto P è fun 
zione di t, e la sua derivata sarà 
dii . 
U —5 l-v 
dt 
Esercizii. 
18. 1. Un segmento a nel piano è determinato quando si conoscano la 
sua lunghezza r, e l’angolo a che esso fa con una retta fissa OX del piano. 
Se r ed a sono funzioni d’un numero t, anche il segmento è funzione di t. La 
sua derivata è la risultante d’un segmento avente la direzione di a, ed eguale in 
lunghezza a e di un segmento .normale ad a ed eguale in lunghezza a 
da 
v . 
dt 
2. Se i punti P, Q, R, S.... sono funzioni di t aventi per derivate p, q, r, s,..., 
la derivata del segmento PQ vale q — p; la derivata dell’area PQR vale 
I(PQ.r + QR.p4-RP.q); 
e la derivata del volume PQRS vale 
i (PQR.s — PQS.r + PRS.q — QRS.p).