Full text: Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale

MP è la 
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ferenza; e 
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— 61 — 
5. Se, pel valore considerato di t, è nulla la derivata prima del 
punto, per determinare la tangente alla curva può servire il seguente 
Teorema. — Se il punto Pè funzione di t, e per t=t 0 sono 
nulle la derivata prima di P, e tutte le successive 
fino all’ordinei?, la tangentealla linea luogo dei punti 
Pè la retta che passa perPe contiene laderivata d’or 
dine p. 
Invero, se le derivate successive l a , 2 a , ... (p— l) ma sono nulle, 
e la derivata vl p d’ordine p non è nulla, sarà, per la formula di 
Taylor: 
hp 
-,(% + €). 
ove è è un segmento che ha con ìi per limite zero. Quindi, fatto 
PQ = %-]-§ e PU = u p , si deduce che i punti PP' e Q sono in 
linea retta, e che il segmento PQ ha per limite PU ; quindi il punto 
Q ha per limite U, il quale è distinto da P, perchè, per ipotesi, 
PU non è nullo. E la retta PP' che passa pei punti P e Q, che 
hanno per limiti i punti P e U non coincidenti, ha per limite la 
retta PU; dunque questa è la tangente. 
Si osservi però che, se la derivata prima è nulla pel valore consi 
derato di t, anche supposte continue le derivate successive, non è 
più vero in generale che la tangente in P sia il limite della con 
giungente due punti P i P 2 presi ad arbitrio sulla curva, ove questi 
si facciano tendere al punto P.
	        
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