MP è la
un punto
normale
la la de
può pure
idistanti
P. Invero
rmale alla
anche G
tta PP' ha
ale a PP'
igente P t;
inea in P.
a necessa-
e la retta
t 0 il piano
Dite di de-
igente alla
te dai due
B hanno
ano luogo
PA n B n , e
retta nor-
basta rico-
limite A 0 ,
cerchio, il
ferenza; e
ace che il
e ad essa.
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5. Se, pel valore considerato di t, è nulla la derivata prima del
punto, per determinare la tangente alla curva può servire il seguente
Teorema. — Se il punto Pè funzione di t, e per t=t 0 sono
nulle la derivata prima di P, e tutte le successive
fino all’ordinei?, la tangentealla linea luogo dei punti
Pè la retta che passa perPe contiene laderivata d’or
dine p.
Invero, se le derivate successive l a , 2 a , ... (p— l) ma sono nulle,
e la derivata vl p d’ordine p non è nulla, sarà, per la formula di
Taylor:
hp
-,(% + €).
ove è è un segmento che ha con ìi per limite zero. Quindi, fatto
PQ = %-]-§ e PU = u p , si deduce che i punti PP' e Q sono in
linea retta, e che il segmento PQ ha per limite PU ; quindi il punto
Q ha per limite U, il quale è distinto da P, perchè, per ipotesi,
PU non è nullo. E la retta PP' che passa pei punti P e Q, che
hanno per limiti i punti P e U non coincidenti, ha per limite la
retta PU; dunque questa è la tangente.
Si osservi però che, se la derivata prima è nulla pel valore consi
derato di t, anche supposte continue le derivate successive, non è
più vero in generale che la tangente in P sia il limite della con
giungente due punti P i P 2 presi ad arbitrio sulla curva, ove questi
si facciano tendere al punto P.