ponibili, e si riconosce se due punti P e Q appartengono alla stessa 
parte od a parti opposte, secondochè le aree ABP e ABQ, ovvero 
i loro doppi AB.AP e AB.AQ hanno lo stesso senso, o senso con 
trario. Così pure un cerchio divide il piano in due regioni, l’una 
(interna) formata dei punti che distano dal centro meno del raggio, 
e l’altra (esterna), i cui punti distano dal centro più del raggio; ecc. 
Sia un piano fisso diviso da una linea / in 
due parti. Diremo che una linea AB conte 
nuta nello stesso piano tocca la l nel loro punto 
comune P, se un arco AB della linea, conte 
nente nel suo interno il punto P, giace tutto 
da una stessa parte della linea l. 
^ Diremo invece che la linea AB taglia la l nel 
loro punto comune P, se due archi PA e PB di 
questa linea, terminanti in P, trovansi l’uno da 
' £ l una parte e l’altro dall’altra della linea l. 
Potrebbe anche una linea avere più punti comuni colla l, ed in 
alcuni di questi toccarla, ed in altri tagliarla. 
Noi supporremo dapprima che la linea l sia una retta, e discu 
teremo se la linea descritta da un punto variabile P, che in una 
posizione speciale P 0 trovasi sulla retta, la tagli o la tocchi. 
7. Teorema I. — Se il punto P descrive una linea piana, 
e se nella posizione speciale P 0 ha una derivata prima 
non nulla, la linea taglia ogni retta del piano passante 
per P 0 , ma diversa dalla tangente. 
Se, inoltre, la derivata seconda di P non è nulla, nè 
coincide in direzione colla derivata prima, la linea 
tocca in P 0 la tangente, e nelle vicinanze diP 0 giace da 
quella banda della tangente verso cui è rivolta la deri 
vata seconda. 
Infatti, sia P 0 A una retta passante per P 0 ; e si consideri l’area 
P 0 P.P 0 A. Suppongasi dapprima che la P 0 A non sia la tangente alla 
curva. Dalla formula P 0 P = 7?(u -(- è), con //me = 0, si ricava l’area