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stessa 
ovvero 
con 
runa 
raggio, 
; ecc. 
ea l in 
conte 
punto 
conte 
tutto 
considerata P 0 P.P 0 A = /2(u.P 0 A-{-è-.P 0 A). Delle due aree racchiuse 
in parentesi la prima u.P 0 A è indipendente da h, e non è nulla, 
perchè le direzioni di u e P 0 A sono distinte; la seconda invece 
e.P 0 A è infinitesima con fi. Perciò potremo supporre li sufficiente 
mente piccolo in valor assoluto, in modo che la seconda area sia 
minore della prima, e che l’area u.P 0 A e.P 0 A abbia il senso del 
l’area u.P 0 A. Ciò supposto, l’area P 0 P.P 0 A avrà il senso di u.P 0 A se 
h è positivo, ed avrà senso contrario se li è negativo; quindi i 
punti P della curva corrispondenti a valori positivi di li stanno da 
una stessa parte della retta P 0 A (cioè da quella verso cui è rivolta 
u); invece i punti della curva che corrispondono a valori negativi 
di h stanno dalla parte opposta ; perciò la linea descritta da P taglia 
in P 0 la retta P 0 A. 
Sia invece P 0 A la tangente alla curva in P 0 . Dalla formula 
h* 
P 0 P = 7m + ^ (v +1 .P 0 A) 
discu- 
n una 
con lime = 0, osservando che l’area u.P 0 A = 0, perchè la tangente 
P 0 A ha la direzione della derivata prima, si ricava 
h* 
P 0 P.P 0 A- — —- [v.P 0 A 4~ e]. 
lana, 
»rima 
ante 
l’area 
te alla 
l’area 
Ora, se la v, derivata seconda di P, non è nulla, nè coincide in 
direzione con u, delle due aree racchiuse in parentesi, la prima 
v.P 0 A sarà diversa da zero, mentre la seconda ha per limite zero; 
perciò si può supporre che v.P 0 A -{- e abbia il senso del primo ter- 
h* 
mine; allora, poiché il fattore-g- è sempre positivo, anche l’area 
P 0 P.P 0 A ha il senso di v.P 0 A, ossia, nelle vicinanze di P 0 i punti 
della curva trovansi da quella parte della tangente P 0 A verso cui 
è rivolta la derivata seconda. 
Teorema IL — Se delle derivate del punto P, nella po 
sizione considerata P 0 , la prima non nulla è la p ma -, e