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delle successive la prima non nulla, nè coincidente 
in direzione colla p™ è la q ma , allora: 
Ogni retta passante per P 0 e distinta dalla tangente 
è tagliata dalla linea se p è dispari; è invece toccata 
se p è pari. 
La tangente in P 0 è tagliata dalla linea se q è dis 
pari, è toccata se q è pari. 
Infatti, sia P 0 A una retta qualunque passante per P 0 . Si consideri 
l’area uu(£) = P 0 P.P 0 A. La sua derivata w a è u„.P 0 A, u, t indicando 
la derivata n a di P. Per le ipotesi fatte, l’area uu(l) si annulla, per 
t = t 0 , insieme alle derivate l a , 2 a , ... (p — l) ma , e la derivata 
è u p .P 0 A, la quale non è nulla se P 0 A è distinta dalla tangente. 
Ricorrendo alla formula di Taylor si ha 
Jl P 
P 0 P.P 0 A = ^K.P 0 A + e], 
ove e è un’area infinitesima con h ; e perciò potremo supporre che 
l’area u p .P 0 A -f- e abbia il segno del primo termine u p .P 0 A. Ora, se 
hp 
p è dispari, siccome il fattore — cambia segno con h, si deduce 
che l’area P 0 P.P 0 A ha, per h negativo, il senso opposto di u p .P 0 A, 
e per h positivo lo stesso senso. Quindi il punto P passa dalla regione 
del piano verso cui non è diretta vl p a quella verso cui questo 
segmento è diretto, e la linea descritta dal punto P taglia la retta 
}ip 
P 0 A. Se invece p è pari, è sempre positivo, l’area P 0 P.P 0 A ha il 
senso dell area u p .P 0 A, e quindi il punto P trovasi nelle vicinanze 
di P 0 da quella stessa parte della P 0 A verso cui è diretta u p . 
Suppongasi ora che la retta P 0 A coincida colla tangente, e quindi 
abbia la direzione di u p . In virtù delie ipotesi fatte saranno pure 
nulle le derivate dell’area w(Q fino a quella d’ordine q, che è 
u 2 .P 0 A. Quindi per la formula di Taylor si ha 
P 0 P.P 0 A = |-KP 0 A + £], 
e ragionando in modo analogo, si scorge che se q è dispari, la linea 
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Fine