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onde si ricava la sottonormale 
MN = yy'. 
Ed infine dal triangolo rettangolo PMN si ha PN — 
e sostituendo 
PN — y \/ 1 -f- y' 2 • 
12. Poiché spesso una curva è definita mediante l’equazione 
y = fipc), sarà utile il trovare direttamente i risultati precedenti. 
Siano OM = x, e OM' — x-\- à.% due ascisse, cui corrispondano 
le ordinate MP — y=z f[oc), e M'P' = y + Ay = f[x -f- Air). 
L’equazione della retta PP f , ove XY siano le coordinate di un 
punto di essa, è 
(«) Y-y=^(X-xy, 
(invero quest’equazione è di primo grado, e quindi rappresenta una 
retta ; e poiché essa è soddisfatta quando invece di X ed Y si pon 
gano rispettivamente le coordinate (x, y) e (oc -\- A x, y + Ay) dei 
punti P e P\ questa retta passa pei punti P e P', e quindi coincide 
colla PP'). 
Si faccia ora tendere Ax a zero. Il coefficiente ~ ha per li 
mite e la retta PP f di equazione (a) ha per limite la 
retta la cui equazione è 
(V) Y- v = d £(x-xy, 
(perchè, supposta l’ascissa X fissa, l’ordinata corrispondente data 
dalla (a) ha per limite l’ordinata data dalla equazione (&), e quindi 
tutti i punti della seconda retta sono limiti di punti della prima, 
e la seconda retta è il limite della prima). 
Dunque la retta rappresentata dall’equazione (&) è la tangente 
alla curva.