CHAPITRE IV 
LÀ FONCTION DE GREEN ET LE PROBLÈME DE DIRICHLET 
60. Théorème de la moyenne de Gauss. — Soit V une fonc 
tion des trois variables x, y, z, continue ainsi que ses dérivées 
premières dans un certain domaine; supposons que ses dérivées 
secondes existent et soient généralement continues, les disconti 
nuités, s’il y en a, se trouvant sur des surfaces algébriques 
d’ailleurs quelconques. 
Soit, en outre, M 0 un point de ce domaine et 2 une sphère, 
ayant pour centre M 0 et située dans le domaine considéré ; on 
appelle motionne de la fonction V sur cette sphère l’expression : 
l’intégrale étant étendue à tous les éléments du de la surface de 
la sphère et r étant le rayon de cette sphère. Soit enfin V 0 la 
la valeur de V au point M 0 . 
Le théorème de la moyenne de Gauss est le suivant : Si la fonc 
tion V satisfait à l’équation de Laplacc 
AV = 0, 
en tout point du domaine, on a la relation : 
M = V Q , 
quel que soit r. 
Pour démontrer ce théorème, changeons de variables et pas 
sons en coordonnées polaires; les formules de transformation 
sont : 
x = r sin (I cos », 
y = r sin 0 sin », 
z = r COS fj,