136 THÉORIE DU POTENTIEL NEWTONIEN 
la valeur de Y est inférieure au maximum V 0 ; l’intégrale fYdio est 
donc inférieure à 4-r 2 V 0 et enfin la moyenne M est inférieure à V 0 ; 
mais, d’après le théorème précédent, on doit avoir M = V 0 ; il 
est donc impossible que Y atteigne son maximum dans l’intérieur 
de T ; elle l’atteint sur la surface S. Pour les mêmes raisons, Y 
a un minimum et elle l’atteint sur S. 
On peut donc énoncer, en général, le théorème suivant : 
Une fonction harmonique dans un domaine n atteint son maxi 
mum et son minimum (que sur la surface qui limite ce domaine. 
On en conclut sans peine le corollaire suivant : Si une fonction 
harmonique est positive sur la surface, elle l’est dans le volume 
limité par cette surface. 
Toutes ces propriétés sont vraies, que le domaine soit simple 
ment ou multiplement connexe. 
62. Le théorème qui précède nous permet de faire les remar 
ques suivantes : 
I. — Supposons le domaine T limité; soient g le maximum 
d'une fonction V harmonique dans ce domaine et h son mini 
mum, on a : 
sur la surface : h ^ V g, 
dans l’intérieur de T : h < Y < g. 
II. — Supposons le domaine T constitué par toute la portion 
de l’espace extérieure à une surface S; ce domaine s’étend depuis 
la surface jusqu’à l’infini. Décrivons une très grande sphère S' 
entourant S. Soient g et h le maximum et le minimum sur S, 
q! et IL le maximum et le minimum sur S'; on a : 
sur S : h < V < g, 
sur S 7 : h 7 < V < g 7 . 
Le maximum de V sera la plus grande des deux quantités g et g 7 , 
pour le volume compris entre ces deux surfaces ; le minimum, 
pour ce même volume, sera la plus petite des quantités h et h 7 . 
Supposons maintenant que, S restant fixe, le rayon de S 7 gran 
disse indéfiniment et que V s’annule à l’infini ; g 7 et h 7 tendent 
vers zéro. Plusieurs cas peuvent alors se présenter :