THEORIE DU POTENTIEL NEWTONIEN 
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sphère et, comme sa valeur en chaque point est bien déterminée, 
on a nécessairement V = 0 dans tout l'espace. 
63. Ce qui précède nous permet de trouver les propriétés earac- 
téristiques de la fonction potentielle (cas de l’attraction newto- 
nienne), c’est-à-dire les conditions nécessaires et suffisantes pour 
qu’une fonction représente un potentiel newtonien. 
Soit une fonction V satisfaisant aux conditions suivantes : 
1° Y est continue dans tout l’espace. 
2° Ses dérivées premières existent et sont continues, à l'inté 
rieur et à l’extérieur d’une surface S donnée ; mais, quand on 
franchit la surface, elles éprouvent des discontinuités ; elles ten 
dent vers des limites différentes, mais bien déterminées, quand 
on tend vers la surface soit par l’intérieur, soit par l’extérieur, 
et ces limites sont telles que, seule, la dérivée prise suivant la 
normale éprouve une discontinuité à la traversée, les dérivées 
tangentielles de S restant continues. 
3° A l’extérieur de S, on a 
4° A l’intérieur, AY est quelconque. 
5° Y s’annule à l'infini. 
Ces conditions sont évidemment nécessaires pour définir un 
potentiel newtonien, puisque tout potentiel newtonien les possède. 
Nous allons montrer qu’elles sont suffisantes, c’est-à-dire qu’elles 
définissent une fonction et que cette fonction est un potentiel. 
Appelons T le volume enfermé dans S. En tout point de 
T, A Y est quelconque, mais donné ; posons : 
AV — f(x, y, z), 
z> étant une fonction donnée. 
Considérons alors la fonction Y. : 
c’est un potentiel de volume, où z> désigne la densité. On a évi 
demment, en tout point x, y, z du volume T,