FONCTION DE GREEN ET PROBLEME DE DIRICHLET l53 
d’où enfin : 
C’est le théorème des résidus de Cauchy. 
Ce théorème n’est vrai que si le point M est intérieur au con 
tour C ; les formules (9), de même, ne peuvent s’appliquer que 
dans ce cas. 
71. Définition de la fonction de Green. — Soient un volume T 
limité par une surface fermée S et M' un point situé à l’intérieur 
de T. 
Supposons que l’on puisse trouver une fonction II satisfaisant 
aux conditions suivantes : 
1° Elle est harmonique dans T, 
2° On a : II = — sur S, 
r 
r désignant la distance du point fixe M (x', y', z') au point 
variable M (x, y, z). 
La fonction 11 étant obtenue, posons : 
G = II + — 
r 
La fonction G ainsi définie est la fonction de Green relative au 
volume T et au point M'. 
Cette fonction s’annule sur S et satisfait à l’équation de 
Laplace en tout point du volume T, sauf au point M' où elle 
devient infinie. 
La fonction de Green que nous venons de définir est relative 
;i un volume limité et correspond au problème de Diriehlet inté 
rieur. On peut de même définir la fonction de Green correspon 
dant au problème de Diriehlet extérieur. 
Soient toujours S une surface fermée et T l’espace situé ii 
l’extérieur de cette surface. Soient, en outre, M' un point 
lixe du domaine T et M un point variable; appelons r la dis 
tance MM'. 
Supposons (pie l’on puisse trouver une fonction II satisfaisant 
aux conditions suivantes :