FONCTION DE GREEN ET PROBLÈME DE DIRICHLET i55 
* 
m 
Pour cola, reportons-nous à une formule démontrée au para 
graphe 68 : si U et Y désignent deux potentiels newtoniens dus, 
le premier à une distribution m de masses, le deuxième à une 
distribution m', on a : 
X( V ^ UJ a^-)= 4 
Cette formule s’applique encore si U et Y désignent l’un et 
l’autre la somme d’un potentiel et d’une fonction harmonique. 
Or, ce dernier cas est précisément le cas de G' et G" ; G' est la 
somme d’une fonction harmonique II' et d’un potentiel du à une 
masse -f- 1 placée au point M'; G" est la somme d une fonction 
harmonique II" et d’un potentiel dû à une masse-f-1 placée au 
point M". On a donc : 
-» / AC" AC' \ 
J ( g 'tïï G "^) dw = 4 *[ G '' (M ')- G '( M ">]- 
Mais la fonction G s’annule sur S ; G' et G sont donc nul]es 
dans cette intégrale de surface et le premier membre est nul ; le 
second doit l’être aussi et l’on conclut : 
G / (M /, ) = G ,/ (M') 
c’est-à-dire 
G (M", M') = G 
et de même : 
G (M, M') = G (M', M). 
Le théorème annoncé est donc démontré. Cependant il faut 
remarquer que cette démonstration n’est pas sans défaut : elle 
suppose en effet qu’en chaque point de S, - ~- existe et est finie 
et bien déterminée. Or G est égal à ll-|——et l’on sait, au 
sujet de 11, seulement ceci, que l'on a : 
Ali = 0 dans T 
l 
Il = — 
sur S