FONCTION DE GREEN ET PROBLÈME DE DIRIC1ILET 1)7 
le volume T, étant limité, la démonstration du paragraphe pré 
cédent s’applique et l’on a : 
Gj (M, M') =Gj 
Or, on a aussi : 
G (M,M') = II(M, ll') + d-, 
G(M',M) = H(M',M) + i, 
et il faut démontrer que l’on a : 
G (M, M') = G 
Comparons G et G t ; on a : 
G — G t = Il — II,. 
Considérons la différence II—II r 
Cette fonction satisfait à l’équation de Laplaee dans le 
volume Tj ; elle s’annule sur S et prend des valeurs très petites 
en valeur absolue sur la sphère S, si celle-ci a un rayon très grand, 
parce que II et II 1 s’annulent à l’infini. Donc, dans le volume T,, 
Il — IIj prend des valeurs très petites en valeur absolue, qui 
tendent vers zéro quand le rayon de S augmente indéfiniment. 
Puisque H — H t tend vers zéro, G—G, tend aussi vers zéro. 
Considérons alors les différences : 
G (M, M') — G, (M, M') 
G (M',M) — G t (M', M) 
(dles tendent vers zéro et comme on a constamment 
Gj (M, M') — Gj (M',M) 
on voit ([lie la différence 
G(M,M')-G(M',M) 
tend aussi vers zéro quand le rayon de ~ croit indéfiniment ; mais, 
d’autre part, cette différence est indépendante de Ü, on a donc 
nécessairement : 
G(M,M') = G(M',M). 
et le théorème est démontré.